昨日の記述に誤りがありましたので訂正します。Paretoが報告したのは、所得分布ではなく、イタリアの土地の80%が地主の上位20%によって占められているということでした。
これを拡張してPareto分布(第一種パレート分布）という確率分布関数が導入されています。
P(X>x)=(xm/x)^α when x>xm, =1 when x < xm です。すなわち、変数Xがx以上の値である確率がx^(-α)に比例するという分布です。
80:20を与えるのは、α=log_4(5)=1.16の時だそうです。地主の所有する土地の面積のような場合はXは上からの順位で、1番目よりも小さい順位はないので、x < xm のときは考えないということでしょうね。
さて、経済学でいうPareto分布は物理学でいうべき乗則（べき乗分布）と同じですが、wikipedia英語版の記述が詳しいです。
https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law
物理学のべき乗則はケプラー則やクーロンの法則のような単純な式の形でべき乗が出てくることもありますが、これは区別するほうが良いと思います。確率分布として出てくるほうが面白いのでこちらを取り上げます。
いろいろ面白い特徴があって：
・α>2の時しか明確に定義された平均値が存在しない
・α>3の時しか明確に定義された分散が存在しない
・自然界の現象では分散が明確に定義されない場合（2<α<3)が多く、その場合は少数の外れ値が全体に影響を与える（ブラックスワン現象）
大地震や株価暴落はblack swan現象と言えますが、その予測はできないとしてもふるまい（特に頻度）を明らかにすることは重要です。特に、どこまでべき乗則に従うかは頻度の低い現象ではわからないので、べき乗則をもたらす条件の理論的な裏付けが望まれます。どこまでわかっているのでしょうか。
英語は https://en.wikipedia.org/wiki/Black_swan_theory
※ “black swan”で検索すると2010年の有名な映画が出てきますね。
“The black swan theory or theory of black swan events is a metaphor that describes an event that comes as a surprise, has a major effect, and is often inappropriately rationalized after the fact with the benefit of hindsight.”
metaphor メタファー 比喩
inappropriately rationalized 不適切に合理化される/理解したつもりになる
hindsight 「ハ」インドサイト 後知恵 Hindsight is 20:20. 後知恵は視力2.0だ。
”The expression was used in the original manner(a Latin expression assuming the black swans do not exist) until around 1697 when Dutch mariners saw black swans living in Australia. After this, the term was reinterpreted to mean an unforeseen and consequential event.”
Latin ラテン語の
mariners 航海者
an unforeseen and consequential event 予期せぬ重大な出来事
consequential = 1. following as a result or effect < consequence 2. important, significant ここは2ですね。
”The reinterpreted theory was articulated by Nassim Nicholas Taleb, starting in 2001, to explain:
・ The disproportionate role of high-profile, hard-to-predict, and rare events that are beyond the realm of normal expectations in history, science, finance, and technology.
・ The non-computability of the probability of consequential rare events using scientific methods (owing to the very nature of small probabilities).
・ The psychological biases that blind people, both individually and collectively, to uncertainty and to the substantial role of rare events in historical affairs.”
articulate まとめる
disproportionate 割合にあわない
both individually and collectively 個人としても集団としても
“Epistemological approach” 認識論的手法