有限要素法の具体的な計算方法を見てみましょう。物理法則は通常、短く記述できるため微分方程式で与えられています。流体に関するものはエネルギーの保存則と物質の保存則になります。まとめたのがナビエ・ストークス方程式ですが、ややこしくなるので、保存則から出てくる熱や物質の拡散を表す拡散方程式（熱伝導方程式）を例にとります。これはフィックの法則の３次元版で、
k△T=-∂q/∂t （熱伝導の場合）、∂c/∂t=DΔc のような形をしています。ただし、Tは温度、cは濃度、kやDは係数。また、ラプラシアン Δ=（勾配∇の二乗）で、1次元の場合は ∂2/∂x2 です。
導出は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
を見てください。これを有限要素（メッシュ（＝考えている物体・流路などを四面体の集合体に分割したもの）の中の１つの四面体領域）に対して積分するということは、上記導出の逆（フィックの第一法則に戻る）をすることになり、四面体の４つの境界面を通して流れこむ熱または物質が温度や濃度の勾配に比例定数を掛けたものにに等しいということを使います。すなわち、拡散方程式でいうと
（ある面を通って流れ込む溶質の総和）=D∇（濃度） となり、∇(濃度)=（考えている四面体中心での濃度ー隣の四面体中心での濃度）÷四面体中心間の距離
となり、各面、各四面体有限要素に対して連立方程式ができます。物体や流路の境界で圧力や温度を決めて、それを解けばよいということになります。
上記で「フィックの第一法則に戻る」というところは、「発散定理」と呼ばれています。電気でコンデンサの容量を求める「ガウスの定理」と同じものです。微分方程式を境界面の出入りに戻す操作が積分であるということがわかれば納得できるでしょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86
境界での積分操作で中身がわかる、という話の関連でちょっと面白い道具として図形の周囲をなぞると面積を求めることができるプラニメータというのがあります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%8B%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%82%BF
価格は10万円くらいです。不動産屋さんの道具でしょうか？
http://www.socio2001.com/planimeter.php
英語は https://en.wikipedia.org/wiki/Planimeter
“A planimeter, also known as a platometer, is a measuring instrument used to determine the area of an arbitrary two-dimensional shape.”
arbitrary 任意の
”A planimeter (1908) measuring the indicated area by tracing its perimeter”
tracing < trace 跡をなぞる、トレースする
perimeter ペ「リ」メータ 周囲、周長
“When the planimeter’s measuring wheel moves perpendicular to its axis, it rolls, and this movement is recorded. When the measuring wheel moves parallel to its axis, the wheel skids without rolling, so this movement is ignored. That means the planimeter measures the distance that its measuring wheel travels, projected perpendicularly to the measuring wheel’s axis of rotation. The area of the shape is proportional to the number of turns through which the measuring wheel rotates.”
perpendicular パー「ペ」ンディキュらー 垂直な <-> parallel 平行な
skid 滑る 港湾などで重いものを運ぶ時に荷物の下に置く角材
”The operation of a linear planimeter can be justified by applying Green’s theorem, though the design of the major varieties predates the theorem’s proof.”
Green’s theorem グリーンの定理 境界線と面内の積分の間の関係式です。ストークスの定理の2次元版。
the major varieties いろいろな形式の主なもの
predate プリ「デ」イト 先んじる、先行する
realter 「レ」るター 不動産屋