私が大学1年生の時の数学の勉強はうんうん唸りながら教科書（「解析概論」など）を読んでいました。難しい本（「関数論」）は数人で輪講したり、時には予備校の先生がボランティア（少し払った気がしますが、格安）でチューターになってくれたりもしました。場所は喫茶店で、先生は確かクラスメートの高校の先輩だったと思います。地方から東京に出たばかりの学生としては、お江戸には信じられないような恵まれた環境があるものだなと驚いたことを覚えています。今はテレビ会議でいろいろできるので、空間を超えた寺子屋のようなものが作れると面白いですね。今回インターネットで検索していて数学の勉強の仕方もずっと効率的になっているのを痛感します。
さて、昨日のつづきで「測度」の話をします。測度(measure)は面積や体積の拡張で、掛谷の針集合のような「病的」な図形を考えるときにはユークリッド空間の滑らかな図形の面積から拡張が必要になります。そこでルベーグ測度が出てくるのですが、私が変に説明するよりも、本職の数学者（名誉教授）による下記の動画がわかりやすいです。現代の寺子屋の一例でしょうか。ルベーグ測度は、確率論を考えるときにも使うので、データサイエンスでも顔を出します。
いろいろ調べているとバナッハ=タルスキーのパラドックスというのが出てきました。面白そうです。
http://michitake.osakafu-u.ac.jp/2018/06/13/ushio_tanaka_science/
証明の概略が下記に出ています。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-ozawa.pdf
英語は、https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
“The Banach–Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball.”
set-theoretic geometry 集合論幾何学
a theorem … ., which states the following 下記のことを述べる定理
disjoint 連結していない
“However, the pieces themselves are not “solids” in the traditional sense, but infinite scatterings of points.”
in the traditional sense 伝統的な意味で
infinite scattering of points 無限の散らばった点
”This is often stated informally as “a pea can be chopped up and reassembled into the Sun” and called the “pea and the Sun paradox”.”
pea 豆
the Sun （地球が属する太陽系の）太陽
“The theorem is a veridical paradox: it contradicts basic geometric intuition, but is not false or self-contradictory.”
contradicts 反する
basic geometric intuition 基礎的な幾何学の直感
false 偽（ぎ）、誤り
self-contradictory 自己矛盾している
”Unlike most theorems in geometry, the mathematical proof of this result depends on the choice of axioms for set theory in a critical way. It can be proven using the axiom of choice, which allows for the construction of non-measurable sets”
axiom 公理
the axiom of choice 選択公理
construction 構成、つくること
non-measurable sets 不可算集合