GPSの話題であと3つ話したいことがあります。
(1) 相対論補正：原子時計は簡単なものでも10^-11の精度があります。測位衛星は2万キロの上空(cf. 地球の半径は3000キロ）を飛んでいるので、第一宇宙速度8km/sよりはだいぶおそく3.9km/sだそうです。それでも原子時計の精度では遅れが生じ、下記記事によると1日あたり7μ秒遅れるそうです。相対論補正は1-√(1-(v/c)^2)で、v=3.9km/s, c=3×10^5km/sとすると8.45×10^-11の割合で、1日86400sをかけると7×10^-6sとなるのであっていますね。この遅れは補正しているそうです。
(2) 同じ周波数の4つの衛星信号を同時に受信している点：遠くからくる声の大きさが違う4人のメッセージ（自分の名前と現在時刻を延々としゃべっている）を聞き分けていることに相当します。聖徳太子は10人ですが、私は2人でも怪しいです。安いスマホでもGPS受信はできるので驚きです。1.1GHzとか1.5GHzとかの電波をスマホ内の小さいアンテナで受けて高周波増幅し、それに1.1GHzなど内部で作った高周波をかけてその周波数成分を取り出してから（＝検波という）解析していると思います。大きさが違う信号がを分けるのはかなり面倒です。もしかしたら衛星によって周波数を少し変えているのかもしれません。そうだとするとそれぞれの周波数の高周波を使って検波できるので楽です。これは声の高さが違う複数人のメッセージを特定の高さに応答する共振器で分離することに相当します。ただし周波数差の逆数に対応する時間（MHzならマイクロ秒）が必要になります。
(3)昨日の搬送波位相を求めるのはちょっと面倒です。低周波なら下記のようにデジタル化して演算することもできます。GHz帯だと非線形素子を使ってアナログ演算するしかないような気がしますが、高速な半導体を使えばギリギリ可能でしょうか。また、受信機も原子時計を持っている必要がありそうです。GPS受信装置は世界中にメーカーがたくさん（10社以上）あります。独自の技術開発が可能な要素があるのと、儲かるのでしょう。
https://www.nfcorp.co.jp/techinfo/keisoku_kouza/pd/
英語は https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_detector
位相検波 phase detection
“The actual input signals to the phase detector, however, are not α and β, but rather sinusoids such as sin(α) and cos(β). In general, computing the phase difference would involve computing the arcsine and arccosine of each normalized input (to get an ever-increasing phase) and doing a subtraction. Such an analog calculation is difficult. Fortunately, the calculation can be simplified by using some approximations. ”
sinusoid / sinusoidal function 正弦関数
trigonometric functions 三角関数
arcsine and arccosine アークサイン と アークコサイン（sinとcosの逆関数）
normalized input 規格化された入力
ever-increasing phase 単調増加する位相
”Two common implementations for multipliers are the double balanced diode mixer, diode ring and the four-quadrant multiplier, Gilbert cell. ”
implementation 実装
multiplier 乗算器
※ two common implementations と言いながら４つ挙げているのは間違いでしょうが、ギャグのようで面白いです。他の方式はコイルが必要で微細化が難しいので、スマホの検波は Gilbert cellを使っているのではないかと思います。
https://en.wikipedia.org/wiki/Gilbert_cell
https://www.fbnews.jp/202301/imasara/