最も長い半減期を持つ同位体は128Teです。Teは変わった元素で、安定同位体よりも放射性同位体のほうが天然存在比が多いです。128Teの半減期は2.2(±0.3)×10^24年で、宇宙の年齢と言われている時間よりも160兆倍長いです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B%E6%9C%9F%E9%A0%86%E3%81%AE%E6%94%BE%E5%B0%84%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%8D%E4%BD%93%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
これだけ長いのに放射壊変が起こるのは理由があり、一つのβ崩壊産物は不安定だが、2つのβ崩壊が起こるとよりエネルギーが低い原子核になる「二重β崩壊」によるためで、私の理解ではまれな現象が同時に２つ起こらなければいけないので確率が低いのだと思います。この現象は128Teと130Teについて1986年に発見されました。二重β崩壊は素粒子論で重要で、ニュートリノが放出されない二重β崩壊が観測できれば、ニュートリノの素性（反ニュートリノとニュートリノが同一粒子かどうか＝マヨラナ粒子かどうか）を決定できると考えられています。wikipediaによると、現在世界の7か所でいろいろな核種を使った実験が行われています。
https://en.wikipedia.org/wiki/Double_beta_decay
128Teはないですが、130Te(半減期8.806×10^18年、天然存在比は30%)を用いたCUORE実験(CUOREはイタリア語で「心」）が2014年建設開始から2024年までの予定で行われています。イタリア山中の地下の施設で、1立方メートルの高純度TeO2結晶を10mKに冷やして、発生する放射線の中の特徴的なガンマ線(2527keV)のピークを探しています。他の放射性物質は邪魔になるので、精製がたいへんでしょう(上海珪酸塩研究所が行ったそうです)。下記に日本語解説と写真があります。
https://tiisys.com/blog/2022/04/08/post-105059/
まだ目的の事象は観測されていなようです。「起こらない時間（確率の逆数）」の下限がどんどん上がっていて、現在は2.2×10^25年とのこと。
TeO2の結晶の写真は私には目の保養です（Teは最近のお気に入り）。放射壊変がおこると、ガンマ線の吸収によって一瞬温度が上がるのでその温度上昇を検出してエネルギーを分別するとのことです。とんでもない高精度の実験です。
https://cuore.lngs.infn.it/en/images
副産物として、ダークマターの正体の素粒子も狙っているとのことです。
日本では半減期2.165×10^21年の136Xeを使った実験(KamLAND-Zen)が2011年から行われています。Xeは気体なので精製が楽そうです。
“CUORE can also search for signals from dark matter candidates, such as axions and WIMPs”
candidate キャンディデイト 候補
axion アキシオン（素粒子）
WIMPS = weakly interacting massive particles = hypothetical particles proposed as candidates of the dark matter
hypothetical ハイポ「せ」ティカる
“In September 2014, as part of the testing of the CUORE dilution refrigerator, scientists in the CUORE collaboration cooled a copper vessel with a volume of one cubic meter to 6 mK (0.006 K, −273.144 °C) for 15 days, setting a record for the lowest temperature in the universe over such a large contiguous volume.”
dilution refrigerator 希釈冷凍機 (3Heと4Heの混合のエントロピーを利用した熱輸送による冷凍機で、ミリケルビンまで冷やせる)。日本語でもダイリューションと呼ばれることもある。
contiguous コン「ティ」ギュアス 一体の、切れ目のない
“ABSuRD is “A Background Surface Rejection Detector” research and development project for the CUORE detector. The project aims to develop a scintillating bolometer with the ability to veto ionizing background radiation.”
absurd アブ「サ」ード ばかげた、不合理な
scintillating シンチレーターの（放射線を受けて可視光など別の光を出す）
bolometer ボゥ「ろ」メタ 熱量計、ボロメータ
veto 「ヴィ」ートー 禁止する、拒否権（米国大統領、国連常任理事国などが行使する） level 7