Bellman方程式はだいたい説明ができたと思うので、それとよく似たHamilton-Jacobi方程式について述べましょう。
「解析力学」という分野の話で、抽象的な変数の置き換えが続いて具体的イメージがわかず非常にわかりにくいですが、いろいろいじっていくうちに量子力学とのつながりが出てきたり、Bellman方程式と同じものが出てきたりして、深い真理につながっていることがうかがわれます。
wikipediaの説明もわかりやすいとは言えません。昔の学者がニュートンの運動方程式を別の形（積分形）で表せないかをいろいろ試していたものが体系化されたというものです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E2%80%93%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6
解析力学の仕組みを使ってエネルギー保存則、運動量保存則などが数学的に導けます。これの一般化としてネーターの定理(Noether’s theorem)というのがあります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
Bellman方程式の話とはっきりつながるのは、最小作用の原理です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
昨日の話でいうと、取りうる人生経路のうち、何かが最大（または最小）になるものが選ばれる、という原理で、昨日の話ではそれが60才時点での貯金だったわけです。
力学的な物体の運動については、「作用」という関数を最小にするものが実現する、という形に運動方程式を書き直すことができます。
解析力学は長年調べられているので、これ以上の広がりはおそらく出てこないと思いますが（？）、基本原理として面白いです。また、量子多体問題の近似や光学、経済学等で意外なところで使えたりもします。下記英語によれば、一般相対論への応用もあるそうです。
英語は https://en.wikipedia.org/wiki/Action_principles から。
“Action principles lie at the heart of fundamental physics, from classical mechanics through quantum mechanics, particle physics, and general relativity.”
action principle （最小）作用の原理 cf. the law of mass action 質量作用則（massを質量と訳したのは誤訳で、大衆の意味です。いまは、化学平衡の法則というほうが多いです）
lie at the heart of… ～の核心に位置する
particle physics 素粒子物理
general relativity 一般相対性理論
”Action principles apply the calculus of variation to the action.”
calculus of variation 変分解析
”This approach (Newton’s law) to mechanics focuses on a single point in space and time, attempting to answer the question: “What happens next?”.Mechanics based on action principles begin with the concept of action, an energy tradeoff between kinetic energy and potential energy, defined by the physics of the problem.” ※これは端的でわかりやすいです。
mechanics 力学
”For action principles, the stationary point may be a minimum or a saddle point, but not a maximum. Elliptical planetary orbits provide a simple example of two paths with equal action – one in each direction around the orbit; neither can be the minimum or “least action”.”
stationary point 停留点 （微分がゼロのところ）
saddle point 鞍点（あんてん） 馬の鞍のように横方向は下に、縦方向は上に向いた曲面の中心のこと。
elliptical planetary orbits 楕円の惑星軌道